6.1 数项级数的敛散性
6 级 数 · 共 54 题
第1题证明题
1．证明下列级数收敛．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+2}-2 \sqrt{n+1}+\sqrt{n})$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)}\left(a_{n}>0\right)$ ．
深圳大学 2005扬州大学 2006
第2题讨论/判定题
2．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(\cos \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln ^{p}\left(\sec \frac{\pi}{n}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{x}{n}\right)$ ．（广西师大2002，湘潭大学2005（ $\displaystyle x=\pi$ ））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．（浙江工商 2014）
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(1-\cos \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\sin \frac{1}{n}\right)^{\alpha}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1+n)^{n}}{n^{n+p}},(p>0)$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[n]{n}-1}{n^{\alpha}}$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (n+1) \sin \frac{1}{n^{\beta}},(\beta>0)$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\sqrt{\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)}\right)$ ．
南京大学 1997南京理工大学 1998北京大学 2002南京理工大学 2004南开大学 2004扬州大学 2004上海财经大学 2005东南大学 2005
+10
第3题讨论/判定题
3．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}-\mathrm{e}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]^{p}, p \in \mathbf{R}$ ．（东南大学 2006，上海交大 2002，南京理工 1998（ $\displaystyle p=2$ ））
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[n]{n^{k}}} .(k=5$ ：武汉大学 2003，$\displaystyle k=1$ ：宁波大学 2005）
吉林大学 2010首都师范大学 2010
第4题讨论/判定题
4．讨论下列级数的玫散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\ln 4+\ln 27+\cdots+\ln n^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2}) \cdots(2+\sqrt{n})}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(2 n)!}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{n}\right)}, x \geqslant 0$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right]$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{\ln 4+\ln 27+\cdots+\ln n^{n}}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\ln (n!)}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{n!}}{(2+\sqrt{1})(2+\sqrt{2}) \cdots(2+\sqrt{n})}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1!+2!+3!+\cdots+n!}{(2 n)!}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{\ln n}}{(\ln n)^{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{(1+x)\left(1+x^{2}\right) \cdots\left(1+x^{n}\right)}, x \geqslant 0$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+\frac{1}{n}}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots+\frac{1}{n!}\right)\right]$ ．
华南理工大学 2001中国地质大学 2002中国科学院 2002西北工大 2002武汉大学 2003南开大学 2005山西大学 2005青岛科技大学 2005
+7
第5题讨论/判定题
5．讨论下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\ln (n+1)} \sin \frac{1}{n}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n^{2}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln (n!)}{n^{p}}(p \in \mathbf{R})$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}\left(1-\frac{x \ln n}{n}\right)^{n}(p>0)$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n(\ln n)^{\alpha}}(\alpha>0)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^{p} \ln ^{q} n}$ ，其中 $\displaystyle p>0, q>0$ 。
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{p}(\ln \ln n)^{q}}$ ．（大连理工 2002，大连理工 1998，复旦大学 $\displaystyle \left.2005(p=1)\right)$
厦门大学 2004山西大学 2004湘潭大学 2006兰州大学 2007华南理工大学 2007青岛理工 2008河北工业大学 2010河海大学 2010
+4
第6题证明题
6．证明下列级数条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\left[\mathrm{e}-\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right]$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
东南大学 2004东南大学 2007
第7题讨论/判定题
7．讨论下列级数的玫散性，
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $\displaystyle a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $\displaystyle (a=\mathrm{e})$ ；$\displaystyle a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$\displaystyle a=1$ ：宁波大学 2004；$\displaystyle a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{n}}{3^{n} n!}$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n!\left(\frac{a}{n}\right)^{n}$ ．（北京交大 2000，上海师大 2001，中山大学 2012（ $\displaystyle a=-\mathrm{e}$ ），北京科技 2007 $\displaystyle (a=\mathrm{e})$ ；$\displaystyle a=2$ ；湖南农大 2010，哈尔滨师大 2004；$\displaystyle a=1$ ：宁波大学 2004；$\displaystyle a=3$ ：桂林电子科技 2008，曲阜师大 2008）
宁波大学 2005
第8题未分类
8．判断下列级数的玫散性和绝对收玫性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n^{p}} \cdot(p>0)$ ．（兰州大学 2008 ，安徽大学 2008 ，宁波大学 2010 ，广西师大 $\displaystyle 2001(x=-1)$ ，河北大学 2007（ $\displaystyle p=1, x=-1$ ））
（2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{n}}}$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{p-\frac{1}{n}}}$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\ln n}}}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p+\frac{1}{\sqrt{n}}}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\left[n+(-1)^{n}\right]^{p}}$ ．（山西师大2006，北京师大2002（ $\displaystyle p \geqslant 1$ ））
（7）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+(-1)^{n} \frac{1}{n^{p}}\right)$ ．
武汉大学 1995上海大学 2000南京师范大学 2002南京师范大学 2002北京理工大学 2006北京科技大学 2006浙江理工 2007西南大学 2008
+5
第9题讨论/判定题
9．讨论级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
（1） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{p}}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^{p}}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^{p}}+\cdots+\frac{1}{2 n-1}-\frac{1}{(2 n)^{p}}+\cdots$ ．
（2） $\displaystyle 1-\frac{1}{\sqrt[3]{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt[3]{4}}+\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{1}{\sqrt[3]{6}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2 n-1}}-\frac{1}{\sqrt[3]{2 n}}+\cdots$ ．
华南师大 2005东南大学 2008
第10题讨论/判定题
10．讨论下列级数的绝对收玫性与条件收敛性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n^{p}} .\left(p=1\right.$ ：西安电子科技 2012 ，地质大学 2006 ，宁波大学 2004 ，北京科技 $\displaystyle 2007 ; p=2^{-1}$ ：中科院2005，首都师大2012）
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sin \left(\pi \sqrt{n^{2}+1}\right)$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \tan \left(\sqrt{n^{2}+\lambda} \pi\right)(\lambda>0)$ ．
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}-\ln n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right)$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} n\left(1-n \sin \frac{1}{n}\right)$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \sin \frac{x}{n}$ ．（计量学院 2009，嗄门大学 2002（ $\displaystyle x=1$ ），内蒙古大学）
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ ．
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x}{2 n^{n}}+\sin \frac{x}{n}\right)$ ．
（10）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{(\ln n)^{3}}{(\ln 3)^{n}}$ ．
（11）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\arctan n}{\sqrt{n}}$ ．
（12）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n} \frac{a}{1+a^{n}}, a>0$ ．
北京大学 1999东华大学 2000北京大学 2000中南大学 2001同济大学 2002广西师范大学 2002宁波大学 2005山西大学 2005
+8
第11题讨论/判定题
11．讨论下列级数的玫散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
（1）设 $\displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{2 n}$ ，判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_{n}\right)$ 的玫散性．
（2）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n-1}}{n^{p}}-\frac{1}{2} \frac{1}{n^{2 p}}+o\left(\frac{1}{n^{2 p}}\right)\right)(p>0)$ 的敛散性．
（3）设 $\displaystyle I=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{p}}{1+n^{q}} \cos \frac{n \pi}{2},(q>0)$ ，（1）求 $\displaystyle I$ 的条件收敛域；（2）求 $\displaystyle I$ 的绝对收敛域．
（4）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(n+x)^{n}}{n^{n+x}}$ 的收玫域．
中南大学 2002西安交大 2007西南大学 2008安徽师大 2013
第12题未分类
12．若数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sin n x, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos n x$ 对任何 $\displaystyle x \in(0,2 \pi)$都收敛．（东华大学 2005（ $\displaystyle a_{n}=\frac{1}{n}, x=1$ ），东南大学 $\displaystyle 1996\left(a_{n}=\frac{1}{\ln n}, x=1\right)$ ，浙江师大 2013（ $\displaystyle \left.a_{n}=\frac{1}{n^{p}}, x=1\right)$ ，复旦大学 1997
南开大学 2003燕山大学 2010西北大学 2013
第13题讨论/判定题
13．讨论下列级数是否绝对收敛或条件收敛？
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{x}}, x \in[0, \infty)$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})^{\alpha} \sin n$ ．
（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n x}{n^{p}}, x \in(0, \pi)$ 。
（4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sin n x}{n}$ ．
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n+1}} \sin \frac{1}{\sqrt{n}}$ ．
（6）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n}+1} \sin \frac{1}{n}$ ．
（7）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
（8）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}\right) \frac{\cos n}{n}$ 。
（9）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{2^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}\right) \frac{\sin n x}{n}$ ．
大连海事大学 2000吉林大学 2001上海交大 2002安徽大学 2002中山大学 2006南京师范大学 2007浙江大学 2008宁波大学 2009
+5
第14题证明题
14．证明下列命题．
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（1）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>1$ ，试证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \in(0,1), n=1,2, \cdots$ ，试证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} 2^{n} a_{n}^{n}\left(1-a_{n}\right)^{n}$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(n^{2 n \sin \frac{1}{n}} a_{n}\right)=1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
吉林大学 2001郑州大学 2005中国计量学院 2010
第15题讨论/判定题
15．正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=a>0$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{a_{n}}\right)^{n}$ 的敛散性．
中山大学 2012
第16题证明题
16．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}^{2}$ 收玫，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n} b_{n}\right|$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明当 $\displaystyle \alpha>\frac{1}{2}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt{a_{n}}}{n^{\alpha}}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \sqrt{a_{n}}$ 的玫散性．
（4）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{n} \ln n}$ 收玫 $\displaystyle \left(a_{n}>0\right)$ 。
武汉大学 1998天津大学 2000中国科学院 2002天津大学 2002安徽师大 2008北京科技大学 2010桂林电子科技 2011
第17题证明题
17．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，反之不然．
（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 是否收敛？是，请证明；否，请举反例．
（3）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{3}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明：（1）当 $\displaystyle p>1$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{p}$ 收玫；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[k]{a_{n}}}{n}$ 收玫 $\displaystyle (k \geqslant 2, k \in \mathbf{N})$ ．
南开大学 1999大连理工大学 2002南京航空航天大学 2003大连理工大学 2003天津大学 2004上海理工 2005北京工业大学 2005青岛大学 2005
+6
第18题证明题
18．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收
敛，结论仍成立吗？
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 有界，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{k},(k>1)$ 收玫．（曲阜师大 2005／2011（ $\displaystyle k=2$ ），桂林电子科技 2009）
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left|n a_{n}\right|=a(>0)$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。能否确定 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的敛散性？说明理由．
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是数项级数，证明：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=\lambda<0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle a_{n}=O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\alpha}\right)$ ，其中 $\displaystyle \alpha>0,\left\{b_{n}\right\}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，$\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛，试问若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收
敛，结论仍成立吗？
南开大学 2001同济大学 2001天津大学 2001武汉大学 2001上海财经大学 2003西北工大 2005首都师范大学 2010暨南大学 2011
第19题证明题
19．证明下列结论或求极限．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
（1）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，且 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，则（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 发散；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{\alpha}}$ 收玫 $\displaystyle (\alpha>1)$ 。（四川大学 2012，华中科技 2012，陕西师大 2012，西南大学 2004，广州大学 2011，北京科技 2004（ $\displaystyle \alpha=2$ ），中南大学 2003，地质大学 2005 ，河北大学 2011，北航 1998，东南大学 1999／1996，燕山大学 2007，哈工大 2009，华南师大 2009，南开大学 2000）
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 的前 $\displaystyle n$ 项和 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫的充要条件为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}}$ 收玫。广西师大2003，华中师大2007，南开大学2000）
（3）设正项级数 $\displaystyle a_{n}>0, n=1,2, \cdots, S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{S_{n}^{2}}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是发散的正项级数，则存在收敛于 0 的正序列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n} a_{n}$ 发散．
（5）设 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 为有界正实数列，求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}$ ．
（6）设 $\displaystyle p_{n}>0, \dot{n}=1,2, \cdots$ 且 $\displaystyle p_{n+1} \geqslant p_{n}, \alpha \geqslant 1$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{p_{n}-p_{n-1}}{p_{n} p_{n-1}^{\alpha}}$ 收玫．
中国人民大学 2000南开大学 2000武汉理工大学 2000南京大学 2008厦门大学 2008燕山大学 2008厦门大学 2012重庆大学 2012
第20题求解题
20．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，$\displaystyle r_{n}=\sum_{k=n}^{\infty} a_{k}$ ，求证下列结论：（1）$\displaystyle \left\{r_{n}\right\}$ 单调减少并趋于 0 ； （2）$\displaystyle \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}} \leqslant 2\left(\sqrt{r_{n}}-\sqrt{r_{n+1}}\right)$ ；（3）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\sqrt{r_{n}}}$ 收敛；（4）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{r_{n}}$ 发散．
温州大学 2004西南交大 2004华中科技 2011
第21题证明题
21．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（2）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递增，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 有界．
（3）设 $\displaystyle a_{n+1}>a_{n}>0, n \geqslant 1$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n-1}}{a_{n}}-1\right)$ 收敛的充分必要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\right)$收玫．
（4）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，求证：若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=c \neq 0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 收敛，若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right)$ 发散．
（5）设正数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)$ 的玫散性．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 单调递增且大于 $\displaystyle 0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递增且大于零，证明：若 $\displaystyle \int_{a}^{+\infty} \frac{1}{x f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛，
则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right) \frac{1}{f\left(a_{n+1}\right)}$ 收敛．
上海师范大学 2000湖南大学 2000上海师范大学 2001兰州大学 2002南昌大学 2003扬州大学 2005曲阜师大 2005西安电子科技大学 2006
+11
第22题证明题
22．证明下列结论．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
（1）设正数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 是严格单调增加且有界的，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{x_{n}}-\frac{1}{x_{n+1}}\right)$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle a_{n} \neq 0, \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=l \neq 0$ 。（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n+1}\right|$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{1}{a_{n}}-\frac{1}{a_{n+1}}\right|$ 同敛散；（2）$\displaystyle l=1$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{a_{n}}}$ 的敛散性（给出证明）．
（3）设 $\displaystyle \left|a_{n}\right| \leqslant 1, n \geqslant 1,\left|a_{n+1}-a_{n}\right| \leqslant \frac{1}{4}\left|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}\right|, n \geqslant 2$ 。证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 收敛；数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛．
南京师范大学 2001山东科技大学 2005河北大学 2008昆明理工大学 2012
第23题证明题
23．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geq 1)$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 同玫散．
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0(n \geqslant 1)$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 发散，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+a_{n}}$ 发散．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散。证明：（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}=0$ ，则 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 收敛，并且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+a_{n}}$ 发散．
（4）设 $\displaystyle p \geqslant 1, a_{n}>0(n \geqslant 1), \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n^{p} a_{n}}$ 的玫散性．（西南交大 2006，哈师大 2002（p＝2））
（5）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，$\displaystyle \alpha>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{\alpha}}{1+n^{\alpha}} b_{n}$ 收敛．
南京大学 1998中国科学院 2006温州大学 2006浙江师范大学 2007苏州大学 2009苏州大学 2010温州大学 2011湖南农业大学 2011
+1
第24题证明题
24．证明下列结论．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．
（1）设正项级数．$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}$ 是收敛的．
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收敛，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2} a_{n}}{\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)^{2}}$ 是收敛的．
中南大学 1982北京交大 1998电子科技大学 2005湖南农业大学 2008
第25题证明题
25．证明下列结论．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
（1）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)$ 也绝对收敛．
（2）证明：若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}\right)$ 也绝对收敛．
华东师范大学 2001西安理工 2004华中师范大学 2006苏州科技大学 2007
第26题证明题
26．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上单调增加，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(f(n+1)-f(n))$ 收玫，并求其和；进一步，设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [1,+\infty)$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)<0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f^{\prime}(n)$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 是 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上的单调递增函数， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，记 $\displaystyle a_{0}=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $\displaystyle a_{n}=f(n)-\int_{n-1}^{n} f(x) \mathrm{d} x$ 。（1）求 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ ；（2）证明：数列 $\displaystyle \left\{S_{n}\right\}$ 单调递增；（3）级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，并给出级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 的一个上界。
兰州大学 2003安徽大学 2005河北工业大学 2009青岛理工 2010
第27题证明题
27．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上可微，且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geqslant K>0$ ．证明：（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ； （2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{1+f^{2}(n)}$ 收敛．
重庆大学 2008
第28题证明题
28．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．证明： （1）$\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ；（2）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛。
（2）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内有定义，且 $\displaystyle f^{\prime \prime}(0)$ 存在。证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ．
（3）设 $\displaystyle f(x)$ 在点 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域内具有连续的二阶导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=a$ ．证明：（1）若 $\displaystyle a>0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 收玫，$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 发散；（2）若 $\displaystyle a=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（4）设 $\displaystyle f(x)$ 是偶函数，在 $\displaystyle x=0$ 的某个邻域中有连续的二阶导数，$\displaystyle f(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$ 。证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$ 绝对收敛．
（5）设函数 $\displaystyle f(x)$ 在区间 $\displaystyle (-1,1)$ 内具有直到三阶的连续导数，且 $\displaystyle f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)}{x}=0$ ．试证明：$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（6）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle x=0$ 的某邻域内䛬二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$（或 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{\sin x}-1}=0$ ）．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{n} f\left(\frac{1}{n}\right)$ 绝对收敛．
（7）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [-1,1]$ 上具有三阶连续导数，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left\{n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-f\left(-\frac{1}{n}\right)\right]-2 f^{\prime}(0)\right\}$ 收玫．}
西安交大 1998中国矿业大学 1999北京大学 1999南京师范大学 2000安徽大学 2000安徽大学 2001南京大学 2002东华大学 2003
+27
第29题证明题
29．设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{n} x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．（1）求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}+a_{n+2}}{n}$ 的和；（2）求 $\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan ^{5} x \mathrm{~d} x$ ；（3）证明： $\displaystyle \frac{1}{2(n+1)}<a_{n}<\frac{1}{2(n-1)}$ ；（4）设 $\displaystyle \lambda>0$ ，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{\lambda}}$ 收敛．
西南大学 2002辽宁大学 2002天津大学 2006武汉科技大学 2006桂林电子科技 2010温州大学 2011中国科学技术大学 2015
第30题证明题
30．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．
（1）设 $\displaystyle I_{n}=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{n} x \cos x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} I_{n}$ ．
（2）设 $\displaystyle a_{n}=\int_{0}^{1}(1-x)^{n} x^{2} \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫并求其和．
武汉理工大学 2003北京航空航天大学 2008
第31题证明题
31．证明或判别下列级数的敛散性．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{1}{n}} \sqrt{\frac{x}{1+x}} \mathrm{~d} x$ ．
（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x} \mathrm{~d} x$ ．
（3）已知 $\displaystyle a_{n}=\frac{n}{\int_{0}^{\pi n} x|\sin x| \mathrm{d} x}$ ，讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 的玫散性。若收敛则求和。地质大学 2006）
（4）已知 $\displaystyle a_{2 n-1}=\frac{1}{n}, a_{2 n}=\int_{n}^{n+1} \frac{1}{x} \mathrm{~d} x$ ，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 条件收玫．
复旦大学 1997东南大学 2002西南大学 2003上海交大 2004华东师范大学 2005新疆大学 2006南京农业大学 2009湘潭大学 2011
第32题证明题
32．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上有连续二阶导数，$\displaystyle f(0)=f(\pi)=0 . a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，试
（1）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0, \pi]$ 上有连续二阶导数，$\displaystyle f(0)=f(\pi)=0 . a_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，试
第33题证明题
33．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\frac{2}{(2+x)(1-2 x)}$ ，求 $\displaystyle f^{(n)}(x)$ ，并证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2-2 x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收玫．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{1-x-x^{2}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{f^{(n)}(0)}$ 收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} f^{(n)}(0)}{2^{n}(n+1)!}$ ．
西北师范大学 2003上海理工 2004南京大学 2004浙江大学 2006吉林大学 2009广西大学 2009
第34题证明题
34．证明下列结论．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
（1）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha_{0}}}$ 收敛，则当 $\displaystyle \alpha>\alpha_{0}$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x_{n}}{n^{\alpha}}$ 也收玫．
（2）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛，证明存在 $\displaystyle -\infty<r<+\infty$ ，使当 $\displaystyle x<r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 发散，当 $\displaystyle x>r$ 时级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{n^{x}}$ 收敛．
南开大学 2002广西大学 2004河海大学 2005新疆大学 2006杭州师大 2006
第35题未分类
35．设 $\displaystyle \left|\sum_{k=0}^{n} a_{k} \pi^{k}\right| \leqslant 2009, n=1,2, \cdots$ ，证 明：当 $\displaystyle x \in(0, \pi)$ 时，$\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k}$ 收 敛，且 $\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} a_{k} x^{k} \in[-2009,2009]$ ．（哈 工 大 2009）
哈工大 2009
第36题证明题
36．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
（1）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为发散的一般项级数，试证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 也是发散级数．
（2）证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right) a_{n}$ 同敛散．
（3）讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} a_{n}$ 的玫散性之间的关系。
（4）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$ 收玫，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收玫．
（5）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n}$ 收敛。试就 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数和一般项级数两种情形分别证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \sqrt{n+\sqrt{n}}$ 也收敛。
华东师范大学 1997华东师范大学 1998天津大学 1999河海大学 2008西安交大 2008河南师范大学 2009
第37题证明题
37．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
（1）设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，证明数列 $\displaystyle \left\{\left(1+a_{1}\right)\left(1+a_{2}\right) \cdots\left(1+a_{n}\right)\right\}$ 与级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 同时收玫或同时发散，并证明：
（1）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2!}\right)\left(1+\frac{1}{3!}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{n!}\right)\right\}$ 收玫．
（2）数列 $\displaystyle \left\{\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdots\left(1+\frac{1}{2^{n}}\right)\right\}$ 收敛．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为递减正项数列，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{m=0}^{\infty} 2^{m} a_{2^{m}}$ 同时收玫或同时发散．
首都师范大学 2003深圳大学 2004湖北大学 2004北京交大 2008吉林大学 2009武汉科技大学 2011南京大学 2012
第38题证明题
38．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=A$ ，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}=A$ ．
（2）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为实数列，$\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}, \sigma_{n}=\frac{1}{n+1}\left(S_{1}+S_{2}+\cdots+S_{n}\right)$ ，已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|S_{n}-\sigma_{n}\right|^{2}$收玫，求证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（3）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \sqrt[n]{a_{n} a_{n+1} \cdots a_{2 n-1}}$ 收敛．
北京师范大学 2009南京大学 2010中国科学技术大学 2011
第39题证明题
39．设 $\displaystyle a_{n}>0$ ，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫，证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{1-\frac{1}{n}}$ 收玫．
中国地质大学 2007中国科学技术大学 2010
第40题证明题
40．证明下列结论．
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{u_{n}\right\}$ 单调，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n u_{n}=0$ 。
（2）设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$\displaystyle a_{n+1} \leqslant a_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，证明：（1） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收敛．
（3）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n^{2000} a_{n}$ 收敛，试证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2001} a_{n}=0$ ．
（4）若 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_{n}}{\ln n}$ 是收敛的正项级数，且数列 $\displaystyle \left\{n a_{n}\right\}$ 单调减少，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n} \ln \ln n=0$ ．
（5）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 为单调递减的正项数列，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ 收敛。试证： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n} \sqrt{n}=0$ 。
（6）设 $\displaystyle a_{n}, c_{n}>0$ ，数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，数列 $\displaystyle \left\{c_{n}\right\}$ 单调增加．证明：（1）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ； （2）若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{c_{n}}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n+c_{n}}$ 发散．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 满足 $\displaystyle 0 \leqslant a_{k} \leqslant 100 a_{n}, n=k+1, k+2, \cdots, \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ 。
中山大学 2000北京交大 2000吉林大学 2001吉林大学 2002上海财经大学 2003华东师范大学 2004山东大学 2004山西大学 2004
+17
第41题证明题
41．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
（1）设 $\displaystyle \left\{n x_{n}\right\}$ 收玫，级数 $\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} n\left(x_{n}-x_{n-1}\right)$ 收敛。试证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收玫。宁波大学 2013，上海交大 2003，昆明理工 2010，中南大学 2006，廈门大学 2008／2012，北京工大 2001，西南师大 2001）
（2）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（3）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是收玫的正项级数，并且 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少收敛于零．证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，而且 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 。
（4）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫于 $\displaystyle A$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 收玫，并求其和．（合肥 $\displaystyle I$大 2000）
（5）设 $\displaystyle a_{n}>0,\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_{n}-a_{n+1}\right)$ 同收玫，且和相同．
（6）设级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{2 n-1}+a_{2 n}\right)$ 收玫， $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫．
（7）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且收玫于零，数列 $\displaystyle \left\{b_{n}\right\}$ 有界，其中 $\displaystyle b_{n}=\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a_{n}\right)$ ．证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$收敛．
华东师范大学 2000合肥大 2000湖南大学 2001重庆大学 2001华东师范大学 2003哈工大 2003安徽大学 2003河海大学 2005
+8
第42题证明题
42．证明下列结论．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．
（1）设正项数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} x_{n}$ 发散，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(1+x_{n}\right)^{n}}$ 收玫。
（2）设正项数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散．令 $\displaystyle u_{n}=\frac{1}{1+a_{1}} \cdot \frac{1}{1+a_{2}} \cdots \frac{1}{1+a_{n}}$ ．试问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 是否收敛？并说明理由．
（3）设 $\displaystyle a_{n}>0, a_{n}>a_{n+1}(n=1,2, \cdots)$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ．证明 $\displaystyle \left\{\frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}\right\}$ 单调减少，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}}{n}$ 是收玫的．
（4）设 $\displaystyle x_{n} \neq 0$ ，且 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x_{n}}{n}=2$ ，讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{x_{n+1}+x_{n}}{x_{n} x_{n+1}}\right)$ 的敛散性，包括条件收敛和绝对收敛．
（5）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (-\infty,+\infty)$ 上可微，对任意 $\displaystyle x \in(-\infty,+\infty), f(x)>0,\left|f^{\prime}(x)\right| \leqslant m f(x)$ ，其中 $\displaystyle 0<m<1$ ，任取实数 $\displaystyle a_{0}, a_{n}=\ln f\left(a_{n-1}\right),(n=1,2, \cdots)$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left|a_{n}-a_{n-1}\right|$ 收玫．
北京工业大学 2000西南大学 2002上海理工 2005南京农业大学 2005中国矿业大学 2007暨南大学 2007南开大学 2008苏州科技大学 2008
+7
第43题证明题
43．证明下列结论．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．
（1）已知 $\displaystyle a_{0}=a_{1}=1, a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2}, n \geqslant 3$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a_{n}}$ 收玫．
（2）判别级数 $\displaystyle \sqrt{2}+\sqrt{2-\sqrt{2}}+\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}+\cdots$ 的玫散性．
（3）设 $\displaystyle x_{1}=\sqrt{2}, x_{2}=\sqrt{2-\sqrt{2}}, x_{3}=\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{2}}}, \cdots$ 证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}$ 收敛．
（4）设 $\displaystyle x_{0}=\sqrt{6}, x_{n+1}=\sqrt{6+x_{n}}$ ，判别级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \sqrt{3-x_{n}}$ 的敛散性．
中南大学 2001中山大学 2008华南理工大学 2009中山大学 2010北京交大 2010山东大学 2011河南师范大学 2011
第44题证明题
44．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．
（1）设 $\displaystyle x^{n}+n x-1=0, n=1,2, \cdots$ 。证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>1$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}^{\alpha}$ 收玫．
（2）设 $\displaystyle (x-1)^{n}+n x-n-1=0, n=1,2, \cdots$ 证明：此方程存在唯一的正实根 $\displaystyle x_{n}$ ，并证明当 $\displaystyle \alpha>0$ 时，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{x_{n}}{x_{n}+\alpha}\right)^{n}$ 收敛．
曲阜师大 2006福建师范大学 2006湖南农业大学 2008云南大学 2010中国科学院 2012
第45题求解题
45．已知级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+1}-a_{n}\right)$ 绝对收敛，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛，求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 收玫．
哈工大 2000哈工大 2004江苏大学 2004中国科学院 2007广西大学 2007电子科技大学 2008江苏大学 2009南京大学 2011
+1
第46题证明题
46．证明或讨论下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均收敛，且成立不等式 $\displaystyle a_{n} \leqslant c_{n} \leqslant b_{n}(n=1,2, \cdots)$ ，试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 也收敛。若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 均发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} c_{n}$ 一定发散吗？
（2）设 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=1$ ，问级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 和 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 的玫散性一定相同吗？举例说明．
（3）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 均为正实数列，且对一切自然数 $\displaystyle n$ 有 $\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leq \frac{b_{n+1}}{b_{n}}$ ，证明：如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 也收敛；如果 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 也发散．
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 的玫散性，其中 $\displaystyle u_{n}>0, \frac{u_{n-1}}{u_{n}} \leqslant \frac{n^{2}}{(n+1)^{2}}, n=1,2, \cdots$
（5）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n^{2}},(n \geqslant 1), M$ 为常数，证明：（1）级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛的充要条件是级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛；（2）若把条件改为 $\displaystyle \left|a_{n}-b_{n}\right| \leqslant \frac{M}{n}$ 时，结论是否成立？
（6）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 是正项级数，$\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正数列，若 $\displaystyle \varliminf_{n \rightarrow \infty}\left(a_{n} \frac{b_{n}}{b_{n+1}}-a_{n+1}\right)>0$ ，证明：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收玫．
山西师大．汕头大学 2003扬州大学 2003湖南师范大学 2003首都师范大学 2005南京信息工程大学 2006吉林大学 2006昆明理工大学 2006上海大学 2007
+6
第47题证明题
47．证明下列结论．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{b_{n}}$ ，并且 $\displaystyle a_{n}>0$ 。证明：（1）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}}{a_{n}}$ 收玫．；（2）若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}{ }^{2}$ 收玫．
（2）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 满足 $\displaystyle a_{n}=b_{n}+\ln \left(1+a_{n}\right)$ ．证明若级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收玫，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$收敛。
（3）设正项数列 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，且满足 $\displaystyle \mathrm{e}^{a_{n}}=a_{n}+\mathrm{e}^{a_{n}+b_{n}}$ ．证明级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛．
北京理工大学 2003北京科技大学 2005广西师范大学 2008湘潭大学 2010
第48题证明题
48．证明或判断下列级数的玫散性．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．
（1）设数列 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}(n=1,2,3, \cdots)$ 都是正项级数，满足 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b_{n}}{n}=0, \lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=y>0$ 。求证：级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫。
（2）设 $\displaystyle a_{n}>0,(n=1,2, \cdots), \lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}-1\right)=\lambda>0$ 。求证：交错级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} a_{n}$ 收玫．
（3）设 $\displaystyle a>0$ ，判断使 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{a^{\ln n}}$ 收玫的 $\displaystyle a$ 的范围．（首都师大 2012，南航 2010（ $\displaystyle a=3$ ））
（4）判断级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2^{\ln n}}$ 是绝对收敛、条件收敛还是发散．
北京航空航天大学 2000大连理工大学 2004山东大学 2004中国科学技术大学 2010中国科学院 2010北京科技大学 2011武汉大学 2015
第49题证明题
49．证明或判断下列级数的敛散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．
（1）设 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 为正项级数，证明：（1）若存在正数 $\displaystyle \alpha$ 及正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \geqslant 1+\alpha$ ，则
$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收玫；（2）若存在正整数 $\displaystyle N$ ，当 $\displaystyle n \geqslant N$ 时，有 $\displaystyle \frac{\ln \frac{1}{a_{n}}}{\ln n} \leqslant 1$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（2）判别级数 $\displaystyle \sum_{n=3}^{\infty} \frac{1}{(\ln n)^{\ln n}}$ 的玫散性．
哈工大 1983中国地质大学 2002武汉大学 2003河北大学 2005西南大学 2005河北大学 2006
第50题证明题
50．若 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫，令 $\displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}$ ，证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{S_{n}}{\mathrm{e}^{n}}$ 收玫．
哈工大 2008
第51题求解题
51．求下列级数的和．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
（1）设 $\displaystyle x_{0}=0, x_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k}(n \geqslant 1), \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=b$ ，求级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x_{n}+x_{n-1}\right)$ 之和．
（2）已知 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}=A, \sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n-1}=B$ ，求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ．
华中科技 2004福州大学 2009中山大学 2011
第52题证明题
52．对级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ ，设 $\displaystyle a_{n}^{+}=\frac{\left|a_{n}\right|+a_{n}}{2}, a_{n}^{-}=\frac{\left|a_{n}\right|-a_{n}}{2}$ ，证明：（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 绝对收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$绝对收敛；（2）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 条件收敛的充要条件是 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{+}$及 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{-}$都发散到正无穷大。
北京工业大学 2008
第53题未分类
53．设正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 发散，则 $\displaystyle \forall k>0$ ，正项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(k+\frac{1}{n^{2}}\right) u_{n}$ 发散．
南京师范大学 2013
第54题未分类
54．判断题．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
（1）若 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0$ ，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛．
苏州大学 2010苏州大学 2011